Линейное преобразование - определение. Что такое Линейное преобразование
Diclib.com
Словарь ChatGPT
Введите слово или словосочетание на любом языке 👆
Язык:

Перевод и анализ слов искусственным интеллектом ChatGPT

На этой странице Вы можете получить подробный анализ слова или словосочетания, произведенный с помощью лучшей на сегодняшний день технологии искусственного интеллекта:

  • как употребляется слово
  • частота употребления
  • используется оно чаще в устной или письменной речи
  • варианты перевода слова
  • примеры употребления (несколько фраз с переводом)
  • этимология

Что (кто) такое Линейное преобразование - определение

ОТОБРАЖЕНИЕ, ПЕРЕВОДЯЩЕЕ ЛИНЕЙНУЮ КОМБИНАЦИЮ В ЛИНЕЙНУЮ КОМБИНАЦИЮ
Линейный оператор; Линейное преобразование; Линейные операторы; Линейные отображения
  • Векторы представлены как матрица 2 x 2, образованная сторонами соответствующего единичного квадрата, трансформируемого в параллелограмм.
  • 150px
  • 125px
  • 125px
  • 150px
  • 175px

Линейное преобразование         

переменных x1, x2, ..., xn - замена этих переменных на новые x'1, x'2, ..., x'n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам:

x1 = a11x'1 + a12x'2 + ... + annx'n + b1,

x2 = a21x'1 + a22x'2 + ... + a2nx'n + b2,

...

xn = an1x'1 + an2x'2 + ... + annx'n + bn,

здесь aij и bi (i, j = 1,2, ..., n) - произвольные числовые коэффициенты. Если b1, b2,..., bn все равны нулю, то Л. п. переменных называют однородным.

Простейшим примером Л. п. переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости

х = x' cos α - y' sin α + a,

у = x' sin α + y' cos α + b.

Если Определитель D = ∣aij ∣, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x'1, x'2, ..., x'n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат

и

x' =x cos α + ysin α + a1

y' = -x sin α + cos α + b1

где a1 = - a cos α - b sin α, b2 = a sin α - b cos (. Другими примерами Л. п. переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п.

Л. п. векторов (или Л. п. векторного пространства (См. Векторное пространство)) называют закон, по которому вектору х из n-мерного пространства ставят в соответствие новый вектор x', координаты которого линейно и однородно выражаются через координаты вектора х:

x'1 = a11x1 + a12x2 + ... +a1nxn

x'2 = a21x1 + a22x2 + ... +a2nxn

...

x'n = an1x1 + an2x2 + ... +annxn,

или коротко

x' = Ax.

Например, операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Л. п. трёхмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х, у, z сопоставляется новый вектор b, координаты x', y'., z' которого выражаются через х, у, z следующим образом : x' = х, y' = у, z' = 0. Пример Л. п. плоскости - поворот её на угол α вокруг начала координат. Матрицу (См. Матрица)

,

составленную из коэффициентов Л. п. А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Л. п. проектирования и поворота будут соответственно

и .

Л. п. векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие ху = Ax называют Л. п., если выполняются условия А(х + у) = Ax + Ау и Ax) = αА(х) для любых векторов х и у и любого числа α. В разных системах координат одному и тому же Л. п. будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат.

К Л. п. относится, в частности, нулевое Л. п. О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox = 0 и единичное Л. п. Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы.

Для Л. п. векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Л. п. А и В называют Л. п. С, переводящее любой вектор х в вектор Cx = Ax + Вх; произведением Л. п. А и В называют результат их последовательного применения: С = AB, если Cx = А(Вх).

В силу этих определений совокупность всех Л. п. векторного пространства образует Кольцо. Матрица суммы (произведения) Л. п. равна сумме (произведению) матриц Л. п. слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности (См. Коммутативность). Л. п. можно также умножать на числа: если Л. п. А переводит вектор х в вектор у = Ax, то αА переводит х в αу. Примеры операций над Л. п.: 1) Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а AB = 0. 2) А и В - повороты плоскости вокруг начала координат на углы φ и ψ; AB будет поворотом на угол φ + ψ. 3) Произведение единичного Л. п. Е на число α будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) α.

Л. п. В называют обратным к Л. п. А (и обозначают А-1), если BA = Е (или AB = Е). Если Л. п. А переводило вектор х в вектор у, то Л. п. А-1 переводит у обратно в х. Л. п., обладающее обратным, называют невырожденным; такие Л. п. характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы Л. п. заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные - в комплексных пространствах) Л. п. Ортогональные Л. п. не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Л. п. в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными): произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: ∑kaikajk = ∑kakiakj = 0 при i ≠ j, ∑ka2ik = ∑ka2ki = 1 (в комплексном пространстве ∑kaikjk = ∑kakikj = 0, ∑k|ajk|2 = ∑k|aki|2 = 1). Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, - в комплексном пространстве) Л. п. называют такое Л. п., матрица которого симметрическая: aij = aji (или (aij = a̅ij). Симметрические Л. п. осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Л. п. связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве).

Приведённое выше определение Л. п. в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Л. п. в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами (См. Линейный оператор).

Лит.: Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., М., 1970; Ефимов Н. В., Розендорн Э. P., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970.

ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ         
1) линейное преобразование переменных x1, x2, ..., xn, замена этих переменных на новые y1, y2, ..., yn, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам: здесь aij, bj (i, j ?1,..., n) - произвольные числа. 2) линейное преобразование векторного пространства, преобразование y?Ax этого пространства, обладающее свойством линейности: если y1?Ax1, y2?Ax2, то A(C1x1+C2x2)?C1y1+C2y2, где C1, C2 - числа.
Линейный оператор         

обобщение понятия линейного преобразования (См. Линейное преобразование) на линейные пространства (См. Линейное пространство). Линейным оператором F на линейном пространстве Е называют функцию F(x), определённую для всех хЕ, значения которой суть элементы линейного пространства E1, и обладающую свойством линейности:

F((x + (у) = (F(x) + (F(y),

где х и у - любые элементы из Е, α и β - числа. Если пространства Е и E1 нормированы и величина ограничена, то Л. о. F называют ограниченным, а его нормой.

Важнейшими конкретными примерами Л. о. в функциональных пространствах являются дифференциальные Л. о.

и интегральные Л. о.

примером Л. о. функций многих переменных может служить Лапласа оператор. Теория Л. о. находит большое применение в различных вопросах математической физики и прикладной математики. См. также Функциональный анализ, Операторов теория, Спектральный анализ (математический), Собственные значения и Собственные функции, Собственные векторы.

Википедия

Линейное отображение

Лине́йное отображе́ние — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции y = k x {\displaystyle y=kx} ) с вещественных чисел на евклидовы пространства более высокой размерности, а также на произвольные векторные пространства. Является центральным понятием линейной алгебры.

Линейные отображения, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Являются частным случаем гомоморфизмов модулей. Линейные отображения из пространства в себя обычно называются линейными операторами или линейными преобразованиями.